解決{l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=3$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=3$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=3$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$x+y-2x+2y=1$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x+y+2y=1$$

合併 y 和 2y 以取得 3y。

$$-x+3y=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=3$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+3$$

在另一個方程式 -x+3y=1 中以 -3y+3 代入 x在方程式。

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-1 乘上 -3y+3。

$$3y-3+3y=1$$

將 3y 加到 3y。

$$6y-3=1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$6y=4$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=\frac{2}{3}$$

在 x=-3y+3 中以 \frac{2}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

-3 乘上 \frac{2}{3}。

$$x=-2+3$$

將 3 加到 -2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=3$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=3$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=3$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$x+y-2x+2y=1$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x+y+2y=1$$

合併 y 和 2y 以取得 3y。

$$-x+3y=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

若要尋找 x-y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x+2y-x+y=3$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x+2y+y=3$$

合併 2y 和 y 以取得 3y。

$$x+3y=3$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$x+y-2x+2y=1$$

合併 x 和 -2x 以取得 -x。

$$-x+y+2y=1$$

合併 y 和 2y 以取得 3y。

$$-x+3y=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+3y=3 減去 -x+3y=1。

$$x+x+3y-3y=3-1$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x+x=3-1$$

將 x 加到 x。

$$2x=3-1$$

將 3 加到 -1。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

在 -x+3y=1 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-1+3y=1$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$3y=2$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$