解決{l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

2 乘上 x+2。

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

-3 乘上 y-1。

$$2x+4-3y+3=13$$

將 4 加到 3。

$$2x-3y+7=13$$

從方程式兩邊減去 7。

$$2x-3y=6$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y+6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 6+3y。

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

在另一個方程式 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9 中以 \frac{3y}{2}+3 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

將 3 加到 2。

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

3 乘上 \frac{3y}{2}+5。

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

5 乘上 y-1。

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

將 \frac{9y}{2} 加到 5y。

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

將 15 加到 -5。

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

從方程式兩邊減去 10。

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{11}{5}$$

在 x=\frac{3}{2}y+3 中以 \frac{11}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{11}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{33}{10}+3$$

將 3 加到 \frac{33}{10}。

$$x=\frac{63}{10}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

化簡第一個方程式，使其成為標準式。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

2 乘上 x+2。

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

-3 乘上 y-1。

$$2x+4-3y+3=13$$

將 4 加到 3。

$$2x-3y+7=13$$

從方程式兩邊減去 7。

$$2x-3y=6$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

3 乘上 x+2。

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

5 乘上 y-1。

$$3x+6+5y-5=30.9$$

將 6 加到 -5。

$$3x+5y+1=30.9$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3x+5y=29.9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$