解決{l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=50$$

$$y=100$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$15x+12y=1950$$

從方程式兩邊減去 12y。

$$15x=-12y+1950$$

將兩邊同時除以 15。

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

\frac{1}{15} 乘上 -12y+1950。

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

在另一個方程式 7x+16y=1950 中以 -\frac{4y}{5}+130 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

7 乘上 -\frac{4y}{5}+130。

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

將 -\frac{28y}{5} 加到 16y。

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

從方程式兩邊減去 910。

$$\frac{52}{5}y=1040$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{52}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=100$$

在 x=-\frac{4}{5}y+130 中以 100 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

-\frac{4}{5} 乘上 100。

$$x=-80+130$$

將 130 加到 -80。

$$x=50$$

現已成功解出系統。

$$x=50,y=100$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=50,y=100$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

讓 15x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 15。

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

化簡。

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 105x+84y=13650 減去 105x+240y=29250。

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

將 105x 加到 -105x。 105x 和 -105x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$84y-240y=13650-29250$$

將 84y 加到 -240y。

$$-156y=13650-29250$$

將 13650 加到 -29250。

$$-156y=-15600$$

將兩邊同時除以 -156。

$$y=100$$

在 7x+16y=1950 中以 100 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+16\times 100=1950$$

16 乘上 100。

$$7x+1600=1950$$

從方程式兩邊減去 1600。

$$7x=350$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=50$$

現已成功解出系統。

$$x=50,y=100$$