解決{l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=28$$

$$y=30$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$0.5x+0.7y=35$$

從方程式兩邊減去 \frac{7y}{10}。

$$0.5x=-0.7y+35$$

將兩邊同時乘上 2。

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

2 乘上 -\frac{7y}{10}+35。

$$x=-1.4y+70$$

在另一個方程式 x+0.4y=40 中以 -\frac{7y}{5}+70 代入 x在方程式。

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

將 -\frac{7y}{5} 加到 \frac{2y}{5}。

$$-y+70=40$$

從方程式兩邊減去 70。

$$-y=-30$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=30$$

在 x=-1.4y+70 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1.4\times 30+70$$

-1.4 乘上 30。

$$x=-42+70$$

將 70 加到 -42。

$$x=28$$

現已成功解出系統。

$$x=28,y=30$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=28,y=30$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

讓 \frac{x}{2} 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.5。

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

化簡。

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.5x+0.7y=35 減去 0.5x+0.2y=20。

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

將 \frac{x}{2} 加到 -\frac{x}{2}。 \frac{x}{2} 和 -\frac{x}{2} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.7y-0.2y=35-20$$

將 \frac{7y}{10} 加到 -\frac{y}{5}。

$$0.5y=35-20$$

將 35 加到 -20。

$$0.5y=15$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=30$$

在 x+0.4y=40 中以 30 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+0.4\times 30=40$$

0.4 乘上 30。

$$x+12=40$$

從方程式兩邊減去 12。

$$x=28$$

現已成功解出系統。

$$x=28,y=30$$