解決{l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+5y=1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$-x=-5y+1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

-1 乘上 -5y+1。

$$x=5y-1$$

在另一個方程式 -2x-5y=11 中以 5y-1 代入 x在方程式。

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

-2 乘上 5y-1。

$$-10y+2-5y=11$$

將 -10y 加到 -5y。

$$-15y+2=11$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-15y=9$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=-\frac{3}{5}$$

在 x=5y-1 中以 -\frac{3}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

5 乘上 -\frac{3}{5}。

$$x=-3-1$$

將 -1 加到 -3。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

讓 -x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

化簡。

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-10y=-2 減去 2x+5y=-11。

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y-5y=-2+11$$

將 -10y 加到 -5y。

$$-15y=-2+11$$

將 -2 加到 11。

$$-15y=9$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=-\frac{3}{5}$$

在 -2x-5y=11 中以 -\frac{3}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

-5 乘上 -\frac{3}{5}。

$$-2x+3=11$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-2x=8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$