解決{l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-7x-4y=62$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$-7x=4y+62$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

-\frac{1}{7} 乘上 4y+62。

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

在另一個方程式 3x+y=-2 中以 \frac{-4y-62}{7} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

3 乘上 \frac{-4y-62}{7}。

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

將 -\frac{12y}{7} 加到 y。

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

將 \frac{186}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{172}{5}$$

在 x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} 中以 -\frac{172}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

-\frac{4}{7} 乘上 -\frac{172}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

將 -\frac{62}{7} 與 \frac{688}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{54}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

讓 -7x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7。

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

化簡。

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -21x-12y=186 減去 -21x-7y=14。

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

將 -21x 加到 21x。 -21x 和 21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y+7y=186-14$$

將 -12y 加到 7y。

$$-5y=186-14$$

將 186 加到 -14。

$$-5y=172$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-\frac{172}{5}$$

在 3x+y=-2 中以 -\frac{172}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

將 \frac{172}{5} 加到方程式的兩邊。

$$3x=\frac{162}{5}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{54}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$