\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + y = - 15 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.
解 x、y
x=4
y=1
圖表
共享
已復制到剪貼板
-4x+y=-15,2x-3y=5
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-4x+y=-15
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-4x=-y-15
從方程式兩邊減去 y。
x=-\frac{1}{4}\left(-y-15\right)
將兩邊同時除以 -4。
x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}
-\frac{1}{4} 乘上 -y-15。
2\left(\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)-3y=5
在另一個方程式 2x-3y=5 中以 \frac{15+y}{4} 代入 x在方程式。
\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}-3y=5
2 乘上 \frac{15+y}{4}。
-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5
將 \frac{y}{2} 加到 -3y。
-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1+15}{4}
在 x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=4
將 \frac{15}{4} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=4,y=1
現已成功解出系統。
-4x+y=-15,2x-3y=5
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{-4\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-15\right)-\frac{1}{10}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-15\right)-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=4,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
-4x+y=-15,2x-3y=5
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\left(-4\right)x+2y=2\left(-15\right),-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5
讓 -4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4。
-8x+2y=-30,-8x+12y=-20
化簡。
-8x+8x+2y-12y=-30+20
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+2y=-30 減去 -8x+12y=-20。
2y-12y=-30+20
將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-10y=-30+20
將 2y 加到 -12y。
-10y=-10
將 -30 加到 20。
y=1
將兩邊同時除以 -10。
2x-3=5
在 2x-3y=5 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x=8
將 3 加到方程式的兩邊。
x=4
將兩邊同時除以 2。
x=4,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}