\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=-2
圖表
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2\left(x-y\right)-5y=10x-10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。
2x-2y-5y=10x-10
計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x-7y=10x-10
合併 -2y 和 -5y 以取得 -7y。
2x-7y-10x=-10
從兩邊減去 10x。
-8x-7y=-10
合併 2x 和 -10x 以取得 -8x。
2x+3\left(y+2\right)=6
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。
2x+3y+6=6
計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。
2x+3y=6-6
從兩邊減去 6。
2x+3y=0
從 6 減去 6 會得到 0。
-8x-7y=-10,2x+3y=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-8x-7y=-10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-8x=7y-10
將 7y 加到方程式的兩邊。
x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)
將兩邊同時除以 -8。
x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}
-\frac{1}{8} 乘上 7y-10。
2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0
在另一個方程式 2x+3y=0 中以 -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} 代入 x在方程式。
-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0
2 乘上 -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}。
\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0
將 -\frac{7y}{4} 加到 3y。
\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。
y=-2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}
在 x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{7+5}{4}
-\frac{7}{8} 乘上 -2。
x=3
將 \frac{5}{4} 與 \frac{7}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=-2
現已成功解出系統。
2\left(x-y\right)-5y=10x-10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。
2x-2y-5y=10x-10
計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x-7y=10x-10
合併 -2y 和 -5y 以取得 -7y。
2x-7y-10x=-10
從兩邊減去 10x。
-8x-7y=-10
合併 2x 和 -10x 以取得 -8x。
2x+3\left(y+2\right)=6
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。
2x+3y+6=6
計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。
2x+3y=6-6
從兩邊減去 6。
2x+3y=0
從 6 減去 6 會得到 0。
-8x-7y=-10,2x+3y=0
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
2\left(x-y\right)-5y=10x-10
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2 的最小公倍數。
2x-2y-5y=10x-10
計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x-7y=10x-10
合併 -2y 和 -5y 以取得 -7y。
2x-7y-10x=-10
從兩邊減去 10x。
-8x-7y=-10
合併 2x 和 -10x 以取得 -8x。
2x+3\left(y+2\right)=6
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。
2x+3y+6=6
計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。
2x+3y=6-6
從兩邊減去 6。
2x+3y=0
從 6 減去 6 會得到 0。
-8x-7y=-10,2x+3y=0
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0
讓 -8x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8。
-16x-14y=-20,-16x-24y=0
化簡。
-16x+16x-14y+24y=-20
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x-14y=-20 減去 -16x-24y=0。
-14y+24y=-20
將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
10y=-20
將 -14y 加到 24y。
y=-2
將兩邊同時除以 10。
2x+3\left(-2\right)=0
在 2x+3y=0 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x-6=0
3 乘上 -2。
2x=6
將 6 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 2。
x=3,y=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}