解決{l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2x-3y=24$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12。

$$12x+y=24$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y=24$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y+24$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 24+3y。

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

在另一個方程式 12x+y=24 中以 \frac{3y}{2}+12 代入 x在方程式。

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

12 乘上 \frac{3y}{2}+12。

$$18y+144+y=24$$

將 18y 加到 y。

$$19y+144=24$$

從方程式兩邊減去 144。

$$19y=-120$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=-\frac{120}{19}$$

在 x=\frac{3}{2}y+12 中以 -\frac{120}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

\frac{3}{2} 乘上 -\frac{120}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

將 12 加到 -\frac{180}{19}。

$$x=\frac{48}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2x-3y=24$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12。

$$12x+y=24$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 3,2 的最小公倍數。

$$2x-3y=24$$

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12。

$$12x+y=24$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

讓 2x 和 12x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

化簡。

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 24x-36y=288 減去 24x+2y=48。

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

將 24x 加到 -24x。 24x 和 -24x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-36y-2y=288-48$$

將 -36y 加到 -2y。

$$-38y=288-48$$

將 288 加到 -48。

$$-38y=240$$

將兩邊同時除以 -38。

$$y=-\frac{120}{19}$$

在 12x+y=24 中以 -\frac{120}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

將 \frac{120}{19} 加到方程式的兩邊。

$$12x=\frac{576}{19}$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{48}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$