\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.
解 x、y
x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538
y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385
圖表
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4x+3y=6\times 2-2\times 6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2,6 的最小公倍數。
4x+3y=12-12
完成乘法。
4x+3y=0
從 12 減去 12 會得到 0。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 5,2,4,10 的最小公倍數。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 4 乘上 2x+y 時使用乘法分配律。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 -10 乘上 y-2 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
合併 4y 和 -10y 以取得 -6y。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
計算 5 乘上 x+y-3 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
計算 -2 乘上 y-x-1 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
合併 5y 和 -2y 以取得 3y。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
合併 5x 和 2x 以取得 7x。
8x-6y+20=7x+3y-13
將 -15 與 2 相加可以得到 -13。
8x-6y+20-7x=3y-13
從兩邊減去 7x。
x-6y+20=3y-13
合併 8x 和 -7x 以取得 x。
x-6y+20-3y=-13
從兩邊減去 3y。
x-9y+20=-13
合併 -6y 和 -3y 以取得 -9y。
x-9y=-13-20
從兩邊減去 20。
x-9y=-33
從 -13 減去 20 會得到 -33。
4x+3y=0,x-9y=-33
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x+3y=0
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=-3y
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y
將兩邊同時除以 4。
x=-\frac{3}{4}y
\frac{1}{4} 乘上 -3y。
-\frac{3}{4}y-9y=-33
在另一個方程式 x-9y=-33 中以 -\frac{3y}{4} 代入 x在方程式。
-\frac{39}{4}y=-33
將 -\frac{3y}{4} 加到 -9y。
y=\frac{44}{13}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{39}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}
在 x=-\frac{3}{4}y 中以 \frac{44}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{33}{13}
-\frac{3}{4} 乘上 \frac{44}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
現已成功解出系統。
4x+3y=6\times 2-2\times 6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2,6 的最小公倍數。
4x+3y=12-12
完成乘法。
4x+3y=0
從 12 減去 12 會得到 0。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 5,2,4,10 的最小公倍數。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 4 乘上 2x+y 時使用乘法分配律。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 -10 乘上 y-2 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
合併 4y 和 -10y 以取得 -6y。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
計算 5 乘上 x+y-3 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
計算 -2 乘上 y-x-1 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
合併 5y 和 -2y 以取得 3y。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
合併 5x 和 2x 以取得 7x。
8x-6y+20=7x+3y-13
將 -15 與 2 相加可以得到 -13。
8x-6y+20-7x=3y-13
從兩邊減去 7x。
x-6y+20=3y-13
合併 8x 和 -7x 以取得 x。
x-6y+20-3y=-13
從兩邊減去 3y。
x-9y+20=-13
合併 -6y 和 -3y 以取得 -9y。
x-9y=-13-20
從兩邊減去 20。
x-9y=-33
從 -13 減去 20 會得到 -33。
4x+3y=0,x-9y=-33
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)
計算。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
解出矩陣元素 x 和 y。
4x+3y=6\times 2-2\times 6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4,2,6 的最小公倍數。
4x+3y=12-12
完成乘法。
4x+3y=0
從 12 減去 12 會得到 0。
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20，這是 5,2,4,10 的最小公倍數。
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 4 乘上 2x+y 時使用乘法分配律。
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
計算 -10 乘上 y-2 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
合併 4y 和 -10y 以取得 -6y。
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
計算 5 乘上 x+y-3 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
計算 -2 乘上 y-x-1 時使用乘法分配律。
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
合併 5y 和 -2y 以取得 3y。
8x-6y+20=7x+3y-15+2
合併 5x 和 2x 以取得 7x。
8x-6y+20=7x+3y-13
將 -15 與 2 相加可以得到 -13。
8x-6y+20-7x=3y-13
從兩邊減去 7x。
x-6y+20=3y-13
合併 8x 和 -7x 以取得 x。
x-6y+20-3y=-13
從兩邊減去 3y。
x-9y+20=-13
合併 -6y 和 -3y 以取得 -9y。
x-9y=-13-20
從兩邊減去 20。
x-9y=-33
從 -13 減去 20 會得到 -33。
4x+3y=0,x-9y=-33
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)
讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
4x+3y=0,4x-36y=-132
化簡。
4x-4x+3y+36y=132
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+3y=0 減去 4x-36y=-132。
3y+36y=132
將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
39y=132
將 3y 加到 36y。
y=\frac{44}{13}
將兩邊同時除以 39。
x-9\times \frac{44}{13}=-33
在 x-9y=-33 中以 \frac{44}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x-\frac{396}{13}=-33
-9 乘上 \frac{44}{13}。
x=-\frac{33}{13}
將 \frac{396}{13} 加到方程式的兩邊。
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}