\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 1 + 2 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 2 + 3 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.
解 x、y
x=15
y=6
圖表
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\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8
從方程式兩邊減去 \frac{y}{2}。
x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)
將兩邊同時乘上 3。
x=-\frac{3}{2}y+24
3 乘上 -\frac{y}{2}+8。
\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4
在另一個方程式 \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4 中以 -\frac{3y}{2}+24 代入 x在方程式。
-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4
\frac{1}{5} 乘上 -\frac{3y}{2}+24。
-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4
將 -\frac{3y}{10} 加到 \frac{y}{6}。
-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}
從方程式兩邊減去 \frac{24}{5}。
y=6
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{15}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times 6+24
在 x=-\frac{3}{2}y+24 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-9+24
-\frac{3}{2} 乘上 6。
x=15
將 24 加到 -9。
x=15,y=6
現已成功解出系統。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)
計算。
x=15,y=6
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4
讓 \frac{x}{3} 和 \frac{x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{5}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{3}。
\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}
化簡。
\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} 減去 \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}。
\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}
將 \frac{x}{15} 加到 -\frac{x}{15}。 \frac{x}{15} 和 -\frac{x}{15} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}
將 \frac{y}{10} 加到 -\frac{y}{18}。
\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}
將 \frac{8}{5} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=6
對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{45}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4
在 \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{5}x+1=4
\frac{1}{6} 乘上 6。
\frac{1}{5}x=3
從方程式兩邊減去 1。
x=15
將兩邊同時乘上 5。
x=15,y=6
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}