\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 y } { 3 } = \frac { - x + 3 y } { 4 } + 1 } \\ { 5 x + y = 2 ( x - 6 ) } \end{array} \right.
解 x、y
x=0
y=-12
圖表
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4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。
4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12
計算 4 乘上 x+2y 時使用乘法分配律。
4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12
計算 3 乘上 -x+3y 時使用乘法分配律。
4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12
從兩邊減去 3\left(-x\right)。
4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12
從兩邊減去 9y。
4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12
將 -1 乘上 3 得到 -3。
4x+8y+3x-9y=12
將 -3 乘上 -1 得到 3。
7x+8y-9y=12
合併 4x 和 3x 以取得 7x。
7x-y=12
合併 8y 和 -9y 以取得 -y。
5x+y=2x-12
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-6 時使用乘法分配律。
5x+y-2x=-12
從兩邊減去 2x。
3x+y=-12
合併 5x 和 -2x 以取得 3x。
7x-y=12,3x+y=-12
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
7x-y=12
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
7x=y+12
將 y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{7}\left(y+12\right)
將兩邊同時除以 7。
x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}
\frac{1}{7} 乘上 y+12。
3\left(\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}\right)+y=-12
在另一個方程式 3x+y=-12 中以 \frac{12+y}{7} 代入 x在方程式。
\frac{3}{7}y+\frac{36}{7}+y=-12
3 乘上 \frac{12+y}{7}。
\frac{10}{7}y+\frac{36}{7}=-12
將 \frac{3y}{7} 加到 y。
\frac{10}{7}y=-\frac{120}{7}
從方程式兩邊減去 \frac{36}{7}。
y=-12
對方程式的兩邊同時除以 \frac{10}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{12}{7}
在 x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7} 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-12+12}{7}
\frac{1}{7} 乘上 -12。
x=0
將 \frac{12}{7} 與 -\frac{12}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=0,y=-12
現已成功解出系統。
4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。
4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12
計算 4 乘上 x+2y 時使用乘法分配律。
4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12
計算 3 乘上 -x+3y 時使用乘法分配律。
4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12
從兩邊減去 3\left(-x\right)。
4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12
從兩邊減去 9y。
4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12
將 -1 乘上 3 得到 -3。
4x+8y+3x-9y=12
將 -3 乘上 -1 得到 3。
7x+8y-9y=12
合併 4x 和 3x 以取得 7x。
7x-y=12
合併 8y 和 -9y 以取得 -y。
5x+y=2x-12
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-6 時使用乘法分配律。
5x+y-2x=-12
從兩邊減去 2x。
3x+y=-12
合併 5x 和 -2x 以取得 3x。
7x-y=12,3x+y=-12
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-3\right)}&\frac{7}{7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{7}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\left(-12\right)\\-\frac{3}{10}\times 12+\frac{7}{10}\left(-12\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)
計算。
x=0,y=-12
解出矩陣元素 x 和 y。
4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,4 的最小公倍數。
4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12
計算 4 乘上 x+2y 時使用乘法分配律。
4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12
計算 3 乘上 -x+3y 時使用乘法分配律。
4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12
從兩邊減去 3\left(-x\right)。
4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12
從兩邊減去 9y。
4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12
將 -1 乘上 3 得到 -3。
4x+8y+3x-9y=12
將 -3 乘上 -1 得到 3。
7x+8y-9y=12
合併 4x 和 3x 以取得 7x。
7x-y=12
合併 8y 和 -9y 以取得 -y。
5x+y=2x-12
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-6 時使用乘法分配律。
5x+y-2x=-12
從兩邊減去 2x。
3x+y=-12
合併 5x 和 -2x 以取得 3x。
7x-y=12,3x+y=-12
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 12,7\times 3x+7y=7\left(-12\right)
讓 7x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。
21x-3y=36,21x+7y=-84
化簡。
21x-21x-3y-7y=36+84
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21x-3y=36 減去 21x+7y=-84。
-3y-7y=36+84
將 21x 加到 -21x。 21x 和 -21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-10y=36+84
將 -3y 加到 -7y。
-10y=120
將 36 加到 84。
y=-12
將兩邊同時除以 -10。
3x-12=-12
在 3x+y=-12 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x=0
將 12 加到方程式的兩邊。
x=0
將兩邊同時除以 3。
x=0,y=-12
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}