\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.
解 x、y
x=8
y=1
圖表
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2x-y=3\times 5
考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 5。
2x-y=15
將 3 乘上 5 得到 15。
x+y=3\times 3
考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 3。
x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
2x-y=15,x+y=9
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-y=15
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=y+15
將 y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}
\frac{1}{2} 乘上 y+15。
\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9
在另一個方程式 x+y=9 中以 \frac{15+y}{2} 代入 x在方程式。
\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9
將 \frac{y}{2} 加到 y。
\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1+15}{2}
在 x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=8
將 \frac{15}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=8,y=1
現已成功解出系統。
2x-y=3\times 5
考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 5。
2x-y=15
將 3 乘上 5 得到 15。
x+y=3\times 3
考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 3。
x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
2x-y=15,x+y=9
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=8,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-y=3\times 5
考慮第一個方程式。 將兩邊同時乘上 5。
2x-y=15
將 3 乘上 5 得到 15。
x+y=3\times 3
考慮第二個方程式。 將兩邊同時乘上 3。
x+y=9
將 3 乘上 3 得到 9。
2x-y=15,x+y=9
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x-y=15,2x+2y=2\times 9
讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
2x-y=15,2x+2y=18
化簡。
2x-2x-y-2y=15-18
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-y=15 減去 2x+2y=18。
-y-2y=15-18
將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-3y=15-18
將 -y 加到 -2y。
-3y=-3
將 15 加到 -18。
y=1
將兩邊同時除以 -3。
x+1=9
在 x+y=9 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=8
從方程式兩邊減去 1。
x=8,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}