\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 7 } x + \frac { 5 } { 7 } y = 1 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 1 } { 4 } y = - 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-3
y=2
圖表
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\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{7}x=-\frac{5}{7}y+1
從方程式兩邊減去 \frac{5y}{7}。
x=7\left(-\frac{5}{7}y+1\right)
將兩邊同時乘上 7。
x=-5y+7
7 乘上 -\frac{5y}{7}+1。
\frac{5}{6}\left(-5y+7\right)+\frac{1}{4}y=-2
在另一個方程式 \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2 中以 -5y+7 代入 x在方程式。
-\frac{25}{6}y+\frac{35}{6}+\frac{1}{4}y=-2
\frac{5}{6} 乘上 -5y+7。
-\frac{47}{12}y+\frac{35}{6}=-2
將 -\frac{25y}{6} 加到 \frac{y}{4}。
-\frac{47}{12}y=-\frac{47}{6}
從方程式兩邊減去 \frac{35}{6}。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{47}{12}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-5\times 2+7
在 x=-5y+7 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-10+7
-5 乘上 2。
x=-3
將 7 加到 -10。
x=-3,y=2
現已成功解出系統。
\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}-\frac{5}{7}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}&\frac{60}{47}\\\frac{70}{47}&-\frac{12}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{47}+\frac{60}{47}\left(-2\right)\\\frac{70}{47}-\frac{12}{47}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=-3,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}y=1,\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{5}{6}\times \frac{1}{7}x+\frac{5}{6}\times \frac{5}{7}y=\frac{5}{6},\frac{1}{7}\times \frac{5}{6}x+\frac{1}{7}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{7}\left(-2\right)
讓 \frac{x}{7} 和 \frac{5x}{6} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{5}{6}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{7}。
\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6},\frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7}
化簡。
\frac{5}{42}x-\frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{5}{42}x+\frac{25}{42}y=\frac{5}{6} 減去 \frac{5}{42}x+\frac{1}{28}y=-\frac{2}{7}。
\frac{25}{42}y-\frac{1}{28}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}
將 \frac{5x}{42} 加到 -\frac{5x}{42}。 \frac{5x}{42} 和 -\frac{5x}{42} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\frac{47}{84}y=\frac{5}{6}+\frac{2}{7}
將 \frac{25y}{42} 加到 -\frac{y}{28}。
\frac{47}{84}y=\frac{47}{42}
將 \frac{5}{6} 與 \frac{2}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{47}{84}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{5}{6}x+\frac{1}{4}\times 2=-2
在 \frac{5}{6}x+\frac{1}{4}y=-2 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{5}{6}x+\frac{1}{2}=-2
\frac{1}{4} 乘上 2。
\frac{5}{6}x=-\frac{5}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。
x=-3
對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-3,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}