解決{c}{x-2y=9}{3x+4y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = 9 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2y=9$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$x=2y+9$$

在另一個方程式 3x+4y=7 中以 2y+9 代入 x在方程式。

$$3\left(2y+9\right)+4y=7$$

3 乘上 2y+9。

$$6y+27+4y=7$$

將 6y 加到 4y。

$$10y+27=7$$

從方程式兩邊減去 27。

$$10y=-20$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-2$$

在 x=2y+9 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2\left(-2\right)+9$$

2 乘上 -2。

$$x=-4+9$$

將 9 加到 -4。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 9,3x+4y=7$$

化簡。

$$3x-6y=27,3x+4y=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-6y=27 減去 3x+4y=7。

$$3x-3x-6y-4y=27-7$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y-4y=27-7$$

將 -6y 加到 -4y。

$$-10y=27-7$$

將 27 加到 -7。

$$-10y=20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=-2$$

在 3x+4y=7 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-2\right)=7$$

4 乘上 -2。

$$3x-8=7$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$3x=15$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=-2$$