\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5
y=-\frac{1}{2}=-0.5
圖表
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y-x=-2
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。
x+y=1,-x+y=-2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+1
從方程式兩邊減去 y。
-\left(-y+1\right)+y=-2
在另一個方程式 -x+y=-2 中以 -y+1 代入 x在方程式。
y-1+y=-2
-1 乘上 -y+1。
2y-1=-2
將 y 加到 y。
2y=-1
將 1 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{1}{2}
將兩邊同時除以 2。
x=-\left(-\frac{1}{2}\right)+1
在 x=-y+1 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{1}{2}+1
-1 乘上 -\frac{1}{2}。
x=\frac{3}{2}
將 1 加到 \frac{1}{2}。
x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}
現已成功解出系統。
y-x=-2
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。
x+y=1,-x+y=-2
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-2\right)\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}
解出矩陣元素 x 和 y。
y-x=-2
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。
x+y=1,-x+y=-2
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
x+x+y-y=1+2
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 x+y=1 減去 -x+y=-2。
x+x=1+2
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
2x=1+2
將 x 加到 x。
2x=3
將 1 加到 2。
x=\frac{3}{2}
將兩邊同時除以 2。
-\frac{3}{2}+y=-2
在 -x+y=-2 中以 \frac{3}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 y。
y=-\frac{1}{2}
將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}