解決{c}{7x-2y=-17}{3x-5y=-28} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 7 x - 2 y = - 17 } \\ { 3 x - 5 y = - 28 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-2y=-17$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$7x=2y-17$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(2y-17\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 2y-17。

$$x=\frac{2}{7}y-\frac{17}{7}$$

在另一個方程式 3x-5y=-28 中以 \frac{2y-17}{7} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{2}{7}y-\frac{17}{7}\right)-5y=-28$$

3 乘上 \frac{2y-17}{7}。

$$\frac{6}{7}y-\frac{51}{7}-5y=-28$$

將 \frac{6y}{7} 加到 -5y。

$$-\frac{29}{7}y-\frac{51}{7}=-28$$

將 \frac{51}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{29}{7}y=-\frac{145}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{2}{7}y-\frac{17}{7} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{7}\times 5-\frac{17}{7}$$

\frac{2}{7} 乘上 5。

$$x=\frac{10-17}{7}$$

將 -\frac{17}{7} 與 \frac{10}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\-28\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-17\right)-\frac{2}{29}\left(-28\right)\\\frac{3}{29}\left(-17\right)-\frac{7}{29}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-2y=-17,3x-5y=-28$$

讓 7x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$3\times 7x+3\left(-2\right)y=3\left(-17\right),7\times 3x+7\left(-5\right)y=7\left(-28\right)$$

化簡。

$$21x-6y=-51,21x-35y=-196$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21x-6y=-51 減去 21x-35y=-196。

$$21x-21x-6y+35y=-51+196$$

將 21x 加到 -21x。 21x 和 -21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+35y=-51+196$$

將 -6y 加到 35y。

$$29y=-51+196$$

將 -51 加到 196。

$$29y=145$$

將兩邊同時除以 29。

$$y=5$$

在 3x-5y=-28 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5\times 5=-28$$

-5 乘上 5。

$$3x-25=-28$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$3x=-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=5$$