解決{c}{4+v=2(3-w)}{v=4+w} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 + v = 2 ( 3 - w ) } \\ { v = 4 + w } \end{array} \right.$$

解 v、w

$$v = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$w=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3-w 時使用乘法分配律。

$$4+v=6-2w$$

新增 2w 至兩側。

$$4+v+2w=6$$

從兩邊減去 4。

$$v+2w=6-4$$

從 6 減去 4 會得到 2。

$$v+2w=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 w。

$$v-w=4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$v+2w=2,v-w=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 v: 將 v 單獨置於等號的左邊。

$$v+2w=2$$

從方程式兩邊減去 2w。

$$v=-2w+2$$

在另一個方程式 v-w=4 中以 -2w+2 代入 v在方程式。

$$-2w+2-w=4$$

將 -2w 加到 -w。

$$-3w+2=4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-3w=2$$

將兩邊同時除以 -3。

$$w=-\frac{2}{3}$$

在 v=-2w+2 中以 -\frac{2}{3} 代入 w。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$v=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+2$$

-2 乘上 -\frac{2}{3}。

$$v=\frac{4}{3}+2$$

將 2 加到 \frac{4}{3}。

$$v=\frac{10}{3}$$

現已成功解出系統。

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3-w 時使用乘法分配律。

$$4+v=6-2w$$

新增 2w 至兩側。

$$4+v+2w=6$$

從兩邊減去 4。

$$v+2w=6-4$$

從 6 減去 4 會得到 2。

$$v+2w=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 w。

$$v-w=4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$v+2w=2,v-w=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 v 和 w。

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3-w 時使用乘法分配律。

$$4+v=6-2w$$

新增 2w 至兩側。

$$4+v+2w=6$$

從兩邊減去 4。

$$v+2w=6-4$$

從 6 減去 4 會得到 2。

$$v+2w=2$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 w。

$$v-w=4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$v+2w=2,v-w=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 v+2w=2 減去 v-w=4。

$$v-v+2w+w=2-4$$

將 v 加到 -v。 v 和 -v 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2w+w=2-4$$

將 2w 加到 w。

$$3w=2-4$$

將 2 加到 -4。

$$3w=-2$$

將兩邊同時除以 3。

$$w=-\frac{2}{3}$$

在 v-w=4 中以 -\frac{2}{3} 代入 w。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$v-\left(-\frac{2}{3}\right)=4$$

-1 乘上 -\frac{2}{3}。

$$v+\frac{2}{3}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{3}。

$$v=\frac{10}{3}$$

現已成功解出系統。

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$