解決{c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$3y-9-4x=-4y+5$$

新增 4y 至兩側。

$$3y-9-4x+4y=5$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$7y-9-4x=5$$

新增 9 至兩側。

$$7y-4x=5+9$$

將 5 與 9 相加可以得到 14。

$$7y-4x=14$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 x+2 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

將 -2 與 1 相加可以得到 -1。

$$5y-3=-x-1+2y$$

新增 x 至兩側。

$$5y-3+x=-1+2y$$

從兩邊減去 2y。

$$5y-3+x-2y=-1$$

合併 5y 和 -2y 以取得 3y。

$$3y-3+x=-1$$

新增 3 至兩側。

$$3y+x=-1+3$$

將 -1 與 3 相加可以得到 2。

$$3y+x=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$7y-4x=14$$

將 4x 加到方程式的兩邊。

$$7y=4x+14$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 4x+14。

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

在另一個方程式 3y+x=2 中以 \frac{4x}{7}+2 代入 y在方程式。

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

3 乘上 \frac{4x}{7}+2。

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

將 \frac{12x}{7} 加到 x。

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

從方程式兩邊減去 6。

$$\frac{19}{7}x=-4$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-\frac{28}{19}$$

在 y=\frac{4}{7}x+2 中以 -\frac{28}{19} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

\frac{4}{7} 乘上 -\frac{28}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

將 2 加到 -\frac{16}{19}。

$$y=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$3y-9-4x=-4y+5$$

新增 4y 至兩側。

$$3y-9-4x+4y=5$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$7y-9-4x=5$$

新增 9 至兩側。

$$7y-4x=5+9$$

將 5 與 9 相加可以得到 14。

$$7y-4x=14$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 x+2 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

將 -2 與 1 相加可以得到 -1。

$$5y-3=-x-1+2y$$

新增 x 至兩側。

$$5y-3+x=-1+2y$$

從兩邊減去 2y。

$$5y-3+x-2y=-1$$

合併 5y 和 -2y 以取得 3y。

$$3y-3+x=-1$$

新增 3 至兩側。

$$3y+x=-1+3$$

將 -1 與 3 相加可以得到 2。

$$3y+x=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$3y-9-4x=-4y+5$$

新增 4y 至兩側。

$$3y-9-4x+4y=5$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$7y-9-4x=5$$

新增 9 至兩側。

$$7y-4x=5+9$$

將 5 與 9 相加可以得到 14。

$$7y-4x=14$$

考慮第二個方程式。 若要尋找 x+2 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

將 -2 與 1 相加可以得到 -1。

$$5y-3=-x-1+2y$$

新增 x 至兩側。

$$5y-3+x=-1+2y$$

從兩邊減去 2y。

$$5y-3+x-2y=-1$$

合併 5y 和 -2y 以取得 3y。

$$3y-3+x=-1$$

新增 3 至兩側。

$$3y+x=-1+3$$

將 -1 與 3 相加可以得到 2。

$$3y+x=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

讓 7y 和 3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

化簡。

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 21y-12x=42 減去 21y+7x=14。

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

將 21y 加到 -21y。 21y 和 -21y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12x-7x=42-14$$

將 -12x 加到 -7x。

$$-19x=42-14$$

將 42 加到 -14。

$$-19x=28$$

將兩邊同時除以 -19。

$$x=-\frac{28}{19}$$

在 3y+x=2 中以 -\frac{28}{19} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

將 \frac{28}{19} 加到方程式的兩邊。

$$3y=\frac{66}{19}$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{22}{19}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$