解決{c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=4$$

$$b=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$-2a+2b=2$$

從方程式兩邊減去 2b。

$$-2a=-2b+2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -2b+2。

$$a=b-1$$

在另一個方程式 3a-2b=2 中以 b-1 代入 a在方程式。

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

3 乘上 b-1。

$$3b-3-2b=2$$

將 3b 加到 -2b。

$$b-3=2$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$b=5$$

在 a=b-1 中以 5 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=5-1$$

將 -1 加到 5。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,b=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=4,b=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

讓 -2a 和 3a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

化簡。

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6a+6b=6 減去 -6a+4b=-4。

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

將 -6a 加到 6a。 -6a 和 6a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6b-4b=6+4$$

將 6b 加到 -4b。

$$2b=6+4$$

將 6 加到 4。

$$2b=10$$

將兩邊同時除以 2。

$$b=5$$

在 3a-2b=2 中以 5 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$3a-2\times 5=2$$

-2 乘上 5。

$$3a-10=2$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$3a=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=4$$

現已成功解出系統。

$$a=4,b=5$$