解決∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt= |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

評估

$$-540$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

將積分逐項加總。

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

在每個項目中因式分解常數。

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

因為 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{t^{4}}{4} 取代 \int t^{3}\mathrm{d}t。 15 乘上 \frac{t^{4}}{4}。

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

因為 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{t^{3}}{3} 取代 \int t^{2}\mathrm{d}t。 -135 乘上 \frac{t^{3}}{3}。

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

因為 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{t^{2}}{2} 取代 \int t\mathrm{d}t。 225 乘上 \frac{t^{2}}{2}。

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

化簡。

$$-540$$