解決∫ (from 1 to 2) of (x+sqrt[3]{x}+1/x^2) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x + \sqrt[ 3 ] { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

評估

$$\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{5}{4}\approx 3.139881575$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int x+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

將 \sqrt[3]{x} 重寫為 x^{\frac{1}{3}}。 因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} 取代 \int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x。 化簡。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 -\frac{1}{x} 取代 \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{2^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 2^{\frac{4}{3}}-2^{-1}-\left(\frac{1^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 1^{\frac{4}{3}}-1^{-1}\right)$$

化簡。

$$\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$$