解決∫ (4-x^2)^2x^2 wrt x= |Microsoft數學求解器

$$\int ( 4 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } x ^ { 2 } d x =$$

評估

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}+С$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4-x^{2}\right)^{2}。

$$\int \left(16-8x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。2 乘 2 得到 4。

$$\int \left(16-8x^{2}+x^{4}\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

計算 16-8x^{2}+x^{4} 乘上 x^{2} 時使用乘法分配律。

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 16 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{5}}{5} 取代 \int x^{4}\mathrm{d}x。 -8 乘上 \frac{x^{5}}{5}。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{7}}{7} 取代 \int x^{6}\mathrm{d}x。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

化簡。

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的不定積分，則 f\left(x\right) 的所有不定積分集合都會由 F\left(x\right)+C 指定。因此，在結果中加上 C\in \mathrm{R} 的積分常數。

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}+С$$

對 x 微分

$$\left(x\left(x^{2}-4\right)\right)^{2}$$