解決v/v^2+17v+72-8/v^2+15v+56 |Microsoft數學求解器

$$\frac { v } { v ^ { 2 } + 17 v + 72 } - \frac { 8 } { v ^ { 2 } + 15 v + 56 }$$

評估

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

簡短的解題步驟

因數分解 v^{2}+17v+72。 因數分解 v^{2}+15v+56。

$$\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(v+8\right)\left(v+9\right) 和 \left(v+7\right)\left(v+8\right) 的最小公倍式為 \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)。 \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 乘上 \frac{v+7}{v+7}。 \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} 乘上 \frac{v+9}{v+9}。

$$\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

因為 \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 和 \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

計算 v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right) 的乘法。

$$\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

合併 v^{2}+7v-8v-72 中的同類項。

$$\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

因數分解 \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 中尚未分解的運算式。

$$\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

在分子和分母中同時消去 v+8。

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

展開 \left(v+7\right)\left(v+9\right)。

$$\frac{v-9}{v^{2}+16v+63}$$

對 v 微分

$$\frac{207+18v-v^{2}}{v^{4}+32v^{3}+382v^{2}+2016v+3969}$$

使用商式導數規則的步驟

因數分解 v^{2}+17v+72。 因數分解 v^{2}+15v+56。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)})$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(v+8\right)\left(v+9\right) 和 \left(v+7\right)\left(v+8\right) 的最小公倍式為 \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)。 \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 乘上 \frac{v+7}{v+7}。 \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} 乘上 \frac{v+9}{v+9}。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

因為 \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 和 \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

計算 v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right) 的乘法。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

合併 v^{2}+7v-8v-72 中的同類項。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

因數分解 \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} 中尚未分解的運算式。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

在分子和分母中同時消去 v+8。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)})$$

計算 v+7 乘上 v+9 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{v^{2}+16v+63})$$

對於任何兩個可微分的函式，兩個函式商式的導數: 分母乘上分子的導數，減掉分子乘上分母的導數，然後全部除以分母的平方。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}-9)-\left(v^{1}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{2}+16v^{1}+63)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

多項式的導數是其各項導數的總和。常數項的導數為 0。ax^{n} 的導數為 nax^{n-1}。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{1-1}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{2-1}+16v^{1-1}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

化簡。

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

v^{2}+16v^{1}+63 乘上 v^{0}。

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

v^{1}-9 乘上 2v^{1}+16v^{0}。

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}\times 2v^{1}+v^{1}\times 16v^{0}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

計算有相同底數之乘冪數間相乘的方法: 相加其指數即可。

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{1+1}+16v^{1}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

化簡。

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{2}+16v^{1}-18v^{1}-144v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

合併同類項。

$$\frac{-v^{2}+18v^{1}+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

任一項 t，t^{1}=t。

$$\frac{-v^{2}+18v+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

除了 0 以外的任意項 t，t^{0}=1。

$$\frac{-v^{2}+18v+207\times 1}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

任一項 t、t\times 1=t 及 1t=t。

$$\frac{-v^{2}+18v+207}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$