解決frac{6-sqrt{20}}{6+sqrt{20}} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 6 - \sqrt { 20 } } { 6 + \sqrt { 20 } }$$

評估

$$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0.145898034$$

解題步驟

因數分解 20=2^{2}\times 5。 將產品 \sqrt{2^{2}\times 5} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{5} 的乘積。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+\sqrt{20}}$$

因數分解 20=2^{2}\times 5。 將產品 \sqrt{2^{2}\times 5} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{5} 的乘積。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$$

將分子和分母同時乘以 6-2\sqrt{5}，來有理化 \frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{\left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}$$

請考慮 \left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

將 6-2\sqrt{5} 乘上 6-2\sqrt{5} 得到 \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\times 5}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

將 4 乘上 5 得到 20。

$$\frac{36-24\sqrt{5}+20}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

將 36 與 20 相加可以得到 56。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

計算 6 的 2 乘冪，然後得到 36。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展開 \left(2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\times 5}$$

將 4 乘上 5 得到 20。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-20}$$

從 36 減去 20 會得到 16。

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{16}$$