解決frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

評估

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

簡短的解題步驟

將分子和分母同時乘以 4-\sqrt{2}，來有理化 \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} 的分母。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

請考慮 \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

對 4 平方。 對 \sqrt{2} 平方。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

從 16 減去 2 會得到 14。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

將 4-\sqrt{2} 乘上 4-\sqrt{2} 得到 \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

將 16 與 2 相加可以得到 18。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

將分子和分母同時乘以 4+\sqrt{2}，來有理化 \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} 的分母。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

請考慮 \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

對 4 平方。 對 \sqrt{2} 平方。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

從 16 減去 2 會得到 14。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

將 4+\sqrt{2} 乘上 4+\sqrt{2} 得到 \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

將 16 與 2 相加可以得到 18。

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

因為 \frac{18-8\sqrt{2}}{14} 和 \frac{18+8\sqrt{2}}{14} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

計算 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right) 的乘法。

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

計算 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2} 。

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

將 -16\sqrt{2} 除以 14 以得到 -\frac{8}{7}\sqrt{2}。

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$