解決2/x^2-1-4/x^2-3x+2=1/3x^2+6x+3 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + 6 x + 3 }$$

解 x

$$x = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1.857142857$$

$$x=-2$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}，這是 x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 的最小公倍數。

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x-6 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x^{2}-3x-6 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+1\right)^{2}。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

將 3 乘上 4 得到 12。

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 12 乘上 x^{2}+2x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

若要尋找 12x^{2}+24x+12 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 6x^{2} 和 -12x^{2} 以取得 -6x^{2}。

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 -6x 和 -24x 以取得 -30x。

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

從 -12 減去 12 會得到 -24。

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

合併 -6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -7x^{2}。

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

新增 3x 至兩側。

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

合併 -30x 和 3x 以取得 -27x。

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

從兩邊減去 2。

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

從 -24 減去 2 會得到 -26。

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -7x^{2}+ax+bx-26。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-27 ab=-7\left(-26\right)=182$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 182 的所有此類整數組合。

$$-1,-182 -2,-91 -7,-26 -13,-14$$

計算每個組合的總和。

$$-1-182=-183 -2-91=-93 -7-26=-33 -13-14=-27$$

該解的總和為 -27。

$$a=-13 b=-14$$

將 -7x^{2}-27x-26 重寫為 \left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)。

$$\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 -2。

$$-x\left(7x+13\right)-2\left(7x+13\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 7x+13。

$$\left(7x+13\right)\left(-x-2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 7x+13=0 並 -x-2=0。

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}，這是 x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 的最小公倍數。

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x-6 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x^{2}-3x-6 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+1\right)^{2}。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

將 3 乘上 4 得到 12。

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 12 乘上 x^{2}+2x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

若要尋找 12x^{2}+24x+12 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 6x^{2} 和 -12x^{2} 以取得 -6x^{2}。

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 -6x 和 -24x 以取得 -30x。

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

從 -12 減去 12 會得到 -24。

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

合併 -6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -7x^{2}。

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

新增 3x 至兩側。

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

合併 -30x 和 3x 以取得 -27x。

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

從兩邊減去 2。

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

從 -24 減去 2 會得到 -26。

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -7 代入 a，將 -27 代入 b，以及將 -26 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

對 -27 平方。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-4 乘上 -7。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+28\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

28 乘上 -26。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-728}}{2\left(-7\right)}$$

將 729 加到 -728。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1}}{2\left(-7\right)}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-27\right)±1}{2\left(-7\right)}$$

-27 的相反數是 27。

$$x=\frac{27±1}{2\left(-7\right)}$$

2 乘上 -7。

$$x=\frac{27±1}{-14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{27±1}{-14}。 將 27 加到 1。

$$x=\frac{28}{-14}$$

28 除以 -14。

$$x=-2$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{27±1}{-14}。 從 27 減去 1。

$$x=\frac{26}{-14}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{26}{-14} 約分至最低項。

$$x=-\frac{13}{7}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-2 x=-\frac{13}{7}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -1,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}，這是 x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 的最小公倍數。

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3 乘上 x-2 時使用乘法分配律。

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x-6 乘上 x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 3x^{2}-3x-6 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+1\right)^{2}。

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

將 3 乘上 4 得到 12。

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 12 乘上 x^{2}+2x+1 時使用乘法分配律。

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

若要尋找 12x^{2}+24x+12 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 6x^{2} 和 -12x^{2} 以取得 -6x^{2}。

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

合併 -6x 和 -24x 以取得 -30x。

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

從 -12 減去 12 會得到 -24。

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

合併 -6x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -7x^{2}。

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

新增 3x 至兩側。

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

合併 -30x 和 3x 以取得 -27x。

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

新增 24 至兩側。

$$-7x^{2}-27x=2+24$$

將 2 與 24 相加可以得到 26。

$$-7x^{2}-27x=26$$

將兩邊同時除以 -7。

$$\frac{-7x^{2}-27x}{-7}=\frac{26}{-7}$$

除以 -7 可以取消乘以 -7 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-7}\right)x=\frac{26}{-7}$$

-27 除以 -7。

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{26}{-7}$$

26 除以 -7。

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=-\frac{26}{7}$$

將 \frac{27}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{27}{14}。接著，將 \frac{27}{14} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=-\frac{26}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

\frac{27}{14} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=-\frac{26}{7}+\frac{729}{196}$$

將 -\frac{26}{7} 與 \frac{729}{196} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1}{196}$$

因數分解 x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

化簡。

$$x+\frac{27}{14}=\frac{1}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{1}{14}$$

從方程式兩邊減去 \frac{27}{14}。

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$