解決1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

解 x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -2,\frac{1}{3} 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}，這是 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 的最小公倍數。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 3x-1 乘上 16 時使用乘法分配律。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合併 5x 和 48x 以取得 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

從 10 減去 16 會得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5x+10 乘上 3x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

從兩邊減去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

從兩邊減去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合併 53x 和 -25x 以取得 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

新增 10 至兩側。

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

將 -6 與 10 相加可以得到 4。

$$28x+4-15x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -15x^{2}+ax+bx+4。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -60 的所有此類整數組合。

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

計算每個組合的總和。

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

該解的總和為 28。

$$a=30 b=-2$$

將 -15x^{2}+28x+4 重寫為 \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)。

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

在第一個組因式分解是 15x，且第二個組是 2。

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 -x+2。

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 -x+2=0 並 15x+2=0。

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -2,\frac{1}{3} 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}，這是 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 的最小公倍數。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 3x-1 乘上 16 時使用乘法分配律。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合併 5x 和 48x 以取得 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

從 10 減去 16 會得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5x+10 乘上 3x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

從兩邊減去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

從兩邊減去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合併 53x 和 -25x 以取得 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

新增 10 至兩側。

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

將 -6 與 10 相加可以得到 4。

$$28x+4-15x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -15 代入 a，將 28 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

對 28 平方。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

-4 乘上 -15。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

60 乘上 4。

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

將 784 加到 240。

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

取 1024 的平方根。

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

2 乘上 -15。

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-28±32}{-30}。 將 -28 加到 32。

$$x=\frac{4}{-30}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{4}{-30} 約分至最低項。

$$x=-\frac{2}{15}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-28±32}{-30}。 從 -28 減去 32。

$$x=-\frac{60}{-30}$$

-60 除以 -30。

$$x=2$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -2,\frac{1}{3} 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}，這是 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 的最小公倍數。

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 3x-1 乘上 16 時使用乘法分配律。

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

合併 5x 和 48x 以取得 53x。

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

從 10 減去 16 會得到 -6。

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

計算 5x+10 乘上 3x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

從兩邊減去 15x^{2}。

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

從兩邊減去 25x。

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

合併 53x 和 -25x 以取得 28x。

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

新增 6 至兩側。

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

將 -10 與 6 相加可以得到 -4。

$$28x-15x^{2}=-4$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-15x^{2}+28x=-4$$

將兩邊同時除以 -15。

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

除以 -15 可以取消乘以 -15 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

28 除以 -15。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

-4 除以 -15。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

將 -\frac{28}{15} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{14}{15}。接著，將 -\frac{14}{15} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

-\frac{14}{15} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

將 \frac{4}{15} 與 \frac{196}{225} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

因數分解 x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

化簡。

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

將 \frac{14}{15} 加到方程式的兩邊。

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$