解決frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3} |Microsoft數學求解器

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

解 b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

解線性方程式的步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}-1，來有理化 \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} 的分母。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 1 平方。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

從 3 減去 1 會得到 2。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

將 \sqrt{3}-1 乘上 \sqrt{3}-1 得到 \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

將 4-2\sqrt{3} 的每一項除以 2 以得到 2-\sqrt{3}。

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

從兩邊減去 a。

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

方程式為標準式。

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

將兩邊同時除以 \sqrt{3}。

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

除以 \sqrt{3} 可以取消乘以 \sqrt{3} 造成的效果。

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

-\sqrt{3}-a+2 除以 \sqrt{3}。

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

解 a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$