Giải sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Tìm x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Các bước tìm nghiệm

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-1} mũ 2 và ta có x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Cộng -1 với 4 để có được 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Khai triển \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Tính 2 mũ 2 và ta có 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+3} mũ 2 và ta có x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 4 với x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Trừ x+3 khỏi cả hai vế của phương trình.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Để tìm số đối của x+3, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Kết hợp 4x và -x để có được 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Lấy 12 trừ 3 để có được 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Khai triển \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Tính -4 mũ 2 và ta có 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x-1} mũ 2 và ta có x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 16 với x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Trừ 9x^{2} khỏi cả hai vế.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Trừ 54x khỏi cả hai vế.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Kết hợp 16x và -54x để có được -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Trừ 81 khỏi cả hai vế.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Lấy -16 trừ 81 để có được -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Có thể giải tất cả các phương trình dạng ax^{2}+bx+c=0 bằng cách sử dụng công thức bậc hai: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Công thức bậc hai cho ra hai nghiệm, một nghiệm khi ± mang dấu cộng và một nghiệm khi mang dấu trừ.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Phương trình này ở dạng chuẩn: ax^{2}+bx+c=0. Thay thế -9 vào a, -38 vào b và -97 vào c trong công thức bậc hai, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Bình phương -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Nhân -4 với -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Nhân 36 với -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Cộng 1444 vào -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Lấy căn bậc hai của -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Số đối của số -38 là 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Nhân 2 với -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} khi ± là số dương. Cộng 38 vào 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Chia 38+32i\sqrt{2} cho -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Bây giờ, giải phương trình x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} khi ± là số âm. Trừ 32i\sqrt{2} khỏi 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Chia 38-32i\sqrt{2} cho -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Hiện phương trình đã được giải.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Thay x bằng \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} trong phương trình \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Rút gọn. Giá trị x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} thỏa mãn phương trình.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Thay x bằng \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} trong phương trình \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Rút gọn. Giá trị x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} không thỏa mãn phương trình.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Thay x bằng \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} trong phương trình \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Rút gọn. Giá trị x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} thỏa mãn phương trình.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Phương trình \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} có một nghiệm duy nhất.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$