Giải sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Tìm x

$$x=9$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ -\sqrt{13-x} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{x+7} mũ 2 và ta có x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{13-x} mũ 2 và ta có 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Cộng 4 với 13 để có được 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Trừ 17-x khỏi cả hai vế của phương trình.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Để tìm số đối của 17-x, hãy tìm số đối của mỗi số hạng.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Lấy 7 trừ 17 để có được -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Kết hợp x và x để có được 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} để bung rộng \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Khai triển \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Tính 4 mũ 2 và ta có 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{13-x} mũ 2 và ta có 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 16 với 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Trừ 208 khỏi cả hai vế.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Lấy 100 trừ 208 để có được -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Thêm 16x vào cả hai vế.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Kết hợp -40x và 16x để có được -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Chia cả hai vế cho 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Để giải phương trình, phân tích vế trái thành thừa số bằng cách nhóm. Trước tiên, vế trái cần được viết lại là x^{2}+ax+bx-27. Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Vì ab là âm, a và b có dấu đối diện. Vì a+b là âm, số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn so với Dương. Liệt kê tất cả cặp số nguyên có tích bằng -27.

$$1,-27 3,-9$$

Tính tổng của mỗi cặp.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Nghiệm là cặp có tổng bằng -6.

$$a=-9 b=3$$

Viết lại x^{2}-6x-27 dưới dạng \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Phân tích x trong đầu tiên và 3 trong nhóm thứ hai.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Phân tích số hạng chung x-9 thành thừa số bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-9=0 và x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Thay x bằng 9 trong phương trình \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Rút gọn. Giá trị x=9 thỏa mãn phương trình.

$$2=2$$

Thay x bằng -3 trong phương trình \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Rút gọn. Giá trị x=-3 không thỏa mãn phương trình vì biểu thức bên trái và bên phải trái dấu.

$$-2=2$$

Thay x bằng 9 trong phương trình \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Rút gọn. Giá trị x=9 thỏa mãn phương trình.

$$2=2$$

Phương trình \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 có một nghiệm duy nhất.

$$x=9$$