Giải sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Tìm x

$$x=5$$

$$x=1$$

Các bước tìm nghiệm

Trừ -\sqrt{2x-1} khỏi cả hai vế của phương trình.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{3x+1} mũ 2 và ta có 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x-1} mũ 2 và ta có 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Lấy 1 trừ 1 để có được 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Trừ 2x khỏi cả hai vế của phương trình.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kết hợp 3x và -2x để có được x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Bình phương cả hai vế của phương trình.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Sử dụng định lý nhị thức \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} để bung rộng \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Khai triển \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Tính 2 mũ 2 và ta có 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Tính \sqrt{2x-1} mũ 2 và ta có 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Sử dụng tính chất phân phối để nhân 4 với 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Trừ 8x khỏi cả hai vế.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kết hợp 2x và -8x để có được -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Thêm 4 vào cả hai vế.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Cộng 1 với 4 để có được 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Để giải phương trình, phân tích x^{2}-6x+5 thành thừa số bằng công thức x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Để tìm a và b, hãy thiết lập hệ thống sẽ được giải.

$$a+b=-6 ab=5$$

Vì ab là dương, a và b có cùng dấu hiệu. Vì a+b là âm, a và b đều là số âm. Cặp duy nhất này là nghiệm của hệ.

$$a=-5 b=-1$$

Viết lại biểu thức đã được phân tích thành thừa số \left(x+a\right)\left(x+b\right) sử dụng các giá trị tìm được.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Để tìm các giải pháp phương trình, hãy giải quyết x-5=0 và x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Thay x bằng 5 trong phương trình \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Rút gọn. Giá trị x=5 thỏa mãn phương trình.

$$1=1$$

Thay x bằng 1 trong phương trình \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Rút gọn. Giá trị x=1 thỏa mãn phương trình.

$$1=1$$

Liệt kê tất cả các giải pháp của \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$