z^2+5z-14=0 eching

$$z ^ { 2 } + 5 z - 14 = 0$$

z uchun yechish

$$z=-7$$

$$z=2$$

Faktorlash qadamlari

Bu tenglamani yechish uchun z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) formulasi yordamida z^{2}+5z-14 ni faktorlang. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=5 ab=-14$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -14-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,14 -2,7$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Yechim – 5 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-2 b=7$$

Faktorlangan \left(z+a\right)\left(z+b\right) ifodani olingan qiymatlar bilan qaytadan yozing.

$$\left(z-2\right)\left(z+7\right)$$

Tenglamani yechish uchun z-2=0 va z+7=0 ni yeching.

$$z=2 z=-7$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon z^{2}+az+bz-14 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -14-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,14 -2,7$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Yechim – 5 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-2 b=7$$

z^{2}+5z-14 ni \left(z^{2}-2z\right)+\left(7z-14\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(7z-14\right)$$

Birinchi guruhda z ni va ikkinchi guruhda 7 ni faktordan chiqaring.

$$z\left(z-2\right)+7\left(z-2\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda z-2 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(z-2\right)\left(z+7\right)$$

Tenglamani yechish uchun z-2=0 va z+7=0 ni yeching.

$$z=2 z=-7$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$z^{2}+5z-14=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 1 ni a, 5 ni b va -14 ni c bilan almashtiring.

$$z=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

5 kvadratini chiqarish.

$$z=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

-4 ni -14 marotabaga ko'paytirish.

$$z=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2}$$

25 ni 56 ga qo'shish.

$$z=\frac{-5±\sqrt{81}}{2}$$

81 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$z=\frac{-5±9}{2}$$

z=\frac{-5±9}{2} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -5 ni 9 ga qo'shish.

$$z=\frac{4}{2}$$

4 ni 2 ga bo'lish.

$$z=2$$

z=\frac{-5±9}{2} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -5 dan 9 ni ayirish.

$$z=-\frac{14}{2}$$

-14 ni 2 ga bo'lish.

$$z=-7$$

Tenglama yechildi.

$$z=2 z=-7$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+5z-14=0$$

14 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$z^{2}+5z-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

O‘zidan -14 ayirilsa 0 qoladi.

$$z^{2}+5z=-\left(-14\right)$$

0 dan -14 ni ayirish.

$$z^{2}+5z=14$$

5 ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{5}{2} olish uchun. Keyin, \frac{5}{2} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$z^{2}+5z+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{5}{2} kvadratini chiqarish.

$$z^{2}+5z+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

14 ni \frac{25}{4} ga qo'shish.

$$z^{2}+5z+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

z^{2}+5z+\frac{25}{4} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(z+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(z+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Qisqartirish.

$$z+\frac{5}{2}=\frac{9}{2} z+\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{5}{2} ni ayirish.

$$z=2 z=-7$$