x^-2+8x^-1+15=0 eching

$$x ^ { - 2 } + 8 x ^ { - 1 } + 15 = 0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Shartlarni qayta saralash.

$$15+8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=0$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$x\times 15+8\times 1+xx^{-2}=0$$

Ayni asosning daraja ko‘rsatkichlarini ko‘paytirish uchun ularning darajalarini qo‘shing. 1 va -2 ni qo‘shib, -1 ni oling.

$$x\times 15+8\times 1+x^{-1}=0$$

8 hosil qilish uchun 8 va 1 ni ko'paytirish.

$$x\times 15+8+x^{-1}=0$$

Shartlarni qayta saralash.

$$15x+8+\frac{1}{x}=0$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$15xx+x\times 8+1=0$$

x^{2} hosil qilish uchun x va x ni ko'paytirish.

$$15x^{2}+x\times 8+1=0$$

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 15x^{2}+ax+bx+1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b musbat boʻlganda, a va b ikkisi ham musbat. 15-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,15 3,5$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1+15=16 3+5=8$$

Yechim – 8 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=3 b=5$$

15x^{2}+8x+1 ni \left(15x^{2}+3x\right)+\left(5x+1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(15x^{2}+3x\right)+\left(5x+1\right)$$

15x^{2}+3x ichida 3x ni ajrating.

$$3x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 5x+1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(5x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun 5x+1=0 va 3x+1=0 ni yeching.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

Shartlarni qayta saralash.

$$15+8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=0$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$x\times 15+8\times 1+xx^{-2}=0$$

Ayni asosning daraja ko‘rsatkichlarini ko‘paytirish uchun ularning darajalarini qo‘shing. 1 va -2 ni qo‘shib, -1 ni oling.

$$x\times 15+8\times 1+x^{-1}=0$$

8 hosil qilish uchun 8 va 1 ni ko'paytirish.

$$x\times 15+8+x^{-1}=0$$

Shartlarni qayta saralash.

$$15x+8+\frac{1}{x}=0$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$15xx+x\times 8+1=0$$

x^{2} hosil qilish uchun x va x ni ko'paytirish.

$$15x^{2}+x\times 8+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$15x^{2}+8x+1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 15 ni a, 8 ni b va 1 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

8 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

-4 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

64 ni -60 ga qo'shish.

$$x=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

4 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

2 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-8±2}{30}$$

x=\frac{-8±2}{30} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -8 ni 2 ga qo'shish.

$$x=-\frac{6}{30}$$

\frac{-6}{30} ulushini 6 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{5}$$

x=\frac{-8±2}{30} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -8 dan 2 ni ayirish.

$$x=-\frac{10}{30}$$

\frac{-10}{30} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tenglama yechildi.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Ikkala tarafdan 15 ni ayirish. Har qanday sonni noldan ayirsangiz, o‘zining manfiyi chiqadi.

$$x^{-2}+8x^{-1}=-15$$

Shartlarni qayta saralash.

$$8\times \frac{1}{x}+x^{-2}=-15$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$8\times 1+xx^{-2}=-15x$$

Ayni asosning daraja ko‘rsatkichlarini ko‘paytirish uchun ularning darajalarini qo‘shing. 1 va -2 ni qo‘shib, -1 ni oling.

$$8\times 1+x^{-1}=-15x$$

8 hosil qilish uchun 8 va 1 ni ko'paytirish.

$$8+x^{-1}=-15x$$

15x ni ikki tarafga qo’shing.

$$8+x^{-1}+15x=0$$

Ikkala tarafdan 8 ni ayirish. Har qanday sonni noldan ayirsangiz, o‘zining manfiyi chiqadi.

$$x^{-1}+15x=-8$$

Shartlarni qayta saralash.

$$15x+\frac{1}{x}=-8$$

x qiymati 0 teng bo‘lmaydi, chunki nolga bo‘lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tarafini x ga ko'paytirish.

$$15xx+1=-8x$$

x^{2} hosil qilish uchun x va x ni ko'paytirish.

$$15x^{2}+1=-8x$$

8x ni ikki tarafga qo’shing.

$$15x^{2}+1+8x=0$$

Ikkala tarafdan 1 ni ayirish. Har qanday sonni noldan ayirsangiz, o‘zining manfiyi chiqadi.

$$15x^{2}+8x=-1$$

Ikki tarafini 15 ga bo‘ling.

$$\frac{15x^{2}+8x}{15}=-\frac{1}{15}$$

15 ga bo'lish 15 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x=-\frac{1}{15}$$

\frac{8}{15} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{4}{15} olish uchun. Keyin, \frac{4}{15} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{4}{15} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali -\frac{1}{15} ni \frac{16}{225} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

x^{2}+\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Qisqartirish.

$$x+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} x+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{4}{15} ni ayirish.

$$x=-\frac{1}{5} x=-\frac{1}{3}$$