n^2-11n-60=0 eching

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n uchun yechish

$$n=-4$$

$$n=15$$

Faktorlash qadamlari

Bu tenglamani yechish uchun n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) formulasi yordamida n^{2}-11n-60 ni faktorlang. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -60-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Yechim – -11 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-15 b=4$$

Faktorlangan \left(n+a\right)\left(n+b\right) ifodani olingan qiymatlar bilan qaytadan yozing.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Tenglamani yechish uchun n-15=0 va n+4=0 ni yeching.

$$n=15 n=-4$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon n^{2}+an+bn-60 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -60-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Yechim – -11 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 ni \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Birinchi guruhda n ni va ikkinchi guruhda 4 ni faktordan chiqaring.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda n-15 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Tenglamani yechish uchun n-15=0 va n+4=0 ni yeching.

$$n=15 n=-4$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 1 ni a, -11 ni b va -60 ni c bilan almashtiring.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 kvadratini chiqarish.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 ni -60 marotabaga ko'paytirish.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 ni 240 ga qo'shish.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 ning teskarisi 11 ga teng.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

n=\frac{11±19}{2} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 11 ni 19 ga qo'shish.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 ni 2 ga bo'lish.

$$n=15$$

n=\frac{11±19}{2} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 11 dan 19 ni ayirish.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 ni 2 ga bo'lish.

$$n=-4$$

Tenglama yechildi.

$$n=15 n=-4$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

60 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

O‘zidan -60 ayirilsa 0 qoladi.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 dan -60 ni ayirish.

$$n^{2}-11n=60$$

-11 ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{11}{2} olish uchun. Keyin, -\frac{11}{2} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{11}{2} kvadratini chiqarish.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 ni \frac{121}{4} ga qo'shish.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

n^{2}-11n+\frac{121}{4} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Qisqartirish.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

\frac{11}{2} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$n=15 n=-4$$