n^2+n-110=0 eching

$$n ^ { 2 } + n - 110 = 0$$

n uchun yechish

$$n=-11$$

$$n=10$$

Faktorlash qadamlari

Bu tenglamani yechish uchun n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) formulasi yordamida n^{2}+n-110 ni faktorlang. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=1 ab=-110$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -110-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

Yechim – 1 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-10 b=11$$

Faktorlangan \left(n+a\right)\left(n+b\right) ifodani olingan qiymatlar bilan qaytadan yozing.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

Tenglamani yechish uchun n-10=0 va n+11=0 ni yeching.

$$n=10 n=-11$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon n^{2}+an+bn-110 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=1 ab=1\left(-110\right)=-110$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -110-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

Yechim – 1 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-10 b=11$$

n^{2}+n-110 ni \left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right)$$

Birinchi guruhda n ni va ikkinchi guruhda 11 ni faktordan chiqaring.

$$n\left(n-10\right)+11\left(n-10\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda n-10 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

Tenglamani yechish uchun n-10=0 va n+11=0 ni yeching.

$$n=10 n=-11$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$n^{2}+n-110=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 1 ni a, 1 ni b va -110 ni c bilan almashtiring.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-110\right)}}{2}$$

1 kvadratini chiqarish.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-110\right)}}{2}$$

-4 ni -110 marotabaga ko'paytirish.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+440}}{2}$$

1 ni 440 ga qo'shish.

$$n=\frac{-1±\sqrt{441}}{2}$$

441 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$n=\frac{-1±21}{2}$$

n=\frac{-1±21}{2} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -1 ni 21 ga qo'shish.

$$n=\frac{20}{2}$$

20 ni 2 ga bo'lish.

$$n=10$$

n=\frac{-1±21}{2} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -1 dan 21 ni ayirish.

$$n=-\frac{22}{2}$$

-22 ni 2 ga bo'lish.

$$n=-11$$

Tenglama yechildi.

$$n=10 n=-11$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-110=0$$

110 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$n^{2}+n-110-\left(-110\right)=-\left(-110\right)$$

O‘zidan -110 ayirilsa 0 qoladi.

$$n^{2}+n=-\left(-110\right)$$

0 dan -110 ni ayirish.

$$n^{2}+n=110$$

1 ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{1}{2} olish uchun. Keyin, \frac{1}{2} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=110+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{1}{2} kvadratini chiqarish.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=110+\frac{1}{4}$$

110 ni \frac{1}{4} ga qo'shish.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{441}{4}$$

n^{2}+n+\frac{1}{4} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Qisqartirish.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{21}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{1}{2} ni ayirish.

$$n=10 n=-11$$