75x^2+35x-10=0 eching

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Ikki tarafini 5 ga bo‘ling.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 15x^{2}+ax+bx-2 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -30-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Yechim – 7 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-3 b=10$$

15x^{2}+7x-2 ni \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Birinchi guruhda 3x ni va ikkinchi guruhda 2 ni faktordan chiqaring.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 5x-1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Tenglamani yechish uchun 5x-1=0 va 3x+2=0 ni yeching.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 75 ni a, 35 ni b va -10 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-4 ni 75 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-300 ni -10 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

1225 ni 3000 ga qo'shish.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

4225 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

2 ni 75 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

x=\frac{-35±65}{150} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -35 ni 65 ga qo'shish.

$$x=\frac{30}{150}$$

\frac{30}{150} ulushini 30 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=\frac{1}{5}$$

x=\frac{-35±65}{150} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -35 dan 65 ni ayirish.

$$x=-\frac{100}{150}$$

\frac{-100}{150} ulushini 50 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Tenglama yechildi.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

10 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

O‘zidan -10 ayirilsa 0 qoladi.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

0 dan -10 ni ayirish.

$$75x^{2}+35x=10$$

Ikki tarafini 75 ga bo‘ling.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75 ga bo'lish 75 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

\frac{35}{75} ulushini 5 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

\frac{10}{75} ulushini 5 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

\frac{7}{15} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{7}{30} olish uchun. Keyin, \frac{7}{30} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{7}{30} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{2}{15} ni \frac{49}{900} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Qisqartirish.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{7}{30} ni ayirish.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$