4x^2-4x-15=0 eching

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

x uchun yechish

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 4x^{2}+ax+bx-15 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -60-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Yechim – -4 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-10 b=6$$

4x^{2}-4x-15 ni \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Birinchi guruhda 2x ni va ikkinchi guruhda 3 ni faktordan chiqaring.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 2x-5 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Tenglamani yechish uchun 2x-5=0 va 2x+3=0 ni yeching.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 4 ni a, -4 ni b va -15 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 ni 4 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 ni -15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

16 ni 240 ga qo'shish.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

256 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

-4 ning teskarisi 4 ga teng.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

2 ni 4 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

x=\frac{4±16}{8} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 4 ni 16 ga qo'shish.

$$x=\frac{20}{8}$$

\frac{20}{8} ulushini 4 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=\frac{5}{2}$$

x=\frac{4±16}{8} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 4 dan 16 ni ayirish.

$$x=-\frac{12}{8}$$

\frac{-12}{8} ulushini 4 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Tenglama yechildi.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

15 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

O‘zidan -15 ayirilsa 0 qoladi.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

0 dan -15 ni ayirish.

$$4x^{2}-4x=15$$

Ikki tarafini 4 ga bo‘ling.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 ga bo'lish 4 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 ni 4 ga bo'lish.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

-1 ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{1}{2} olish uchun. Keyin, -\frac{1}{2} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{1}{2} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{15}{4} ni \frac{1}{4} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Qisqartirish.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$