3x^2-2x-1=0 eching

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 3x^{2}+ax+bx-1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. Faqat bundan juftlik tizim yechimidir.

$$a=-3 b=1$$

3x^{2}-2x-1 ni \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

3x^{2}-3x ichida 3x ni ajrating.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda x-1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun x-1=0 va 3x+1=0 ni yeching.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 3 ni a, -2 ni b va -1 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-2 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-4 ni 3 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-12 ni -1 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

4 ni 12 ga qo'shish.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 ning teskarisi 2 ga teng.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

2 ni 3 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

x=\frac{2±4}{6} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 2 ni 4 ga qo'shish.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 ni 6 ga bo'lish.

$$x=1$$

x=\frac{2±4}{6} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 2 dan 4 ni ayirish.

$$x=-\frac{2}{6}$$

\frac{-2}{6} ulushini 2 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Tenglama yechildi.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

1 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

O‘zidan -1 ayirilsa 0 qoladi.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

0 dan -1 ni ayirish.

$$3x^{2}-2x=1$$

Ikki tarafini 3 ga bo‘ling.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3 ga bo'lish 3 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

-\frac{2}{3} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{1}{3} olish uchun. Keyin, -\frac{1}{3} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{1}{3} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{1}{3} ni \frac{1}{9} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Qisqartirish.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$