20x^2-x-1=0 eching

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 20x^{2}+ax+bx-1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -20-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Yechim – -1 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 ni \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

20x^{2}-5x ichida 5x ni ajrating.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 4x-1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun 4x-1=0 va 5x+1=0 ni yeching.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 20 ni a, -1 ni b va -1 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 ni 20 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 ni -1 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

1 ni 80 ga qo'shish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

81 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 ning teskarisi 1 ga teng.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2 ni 20 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

x=\frac{1±9}{40} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 1 ni 9 ga qo'shish.

$$x=\frac{10}{40}$$

\frac{10}{40} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=\frac{1}{4}$$

x=\frac{1±9}{40} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 1 dan 9 ni ayirish.

$$x=-\frac{8}{40}$$

\frac{-8}{40} ulushini 8 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Tenglama yechildi.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

1 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

O‘zidan -1 ayirilsa 0 qoladi.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0 dan -1 ni ayirish.

$$20x^{2}-x=1$$

Ikki tarafini 20 ga bo‘ling.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 ga bo'lish 20 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

-\frac{1}{20} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{1}{40} olish uchun. Keyin, -\frac{1}{40} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{1}{40} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{1}{20} ni \frac{1}{1600} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Qisqartirish.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

\frac{1}{40} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$