2x^2-x-15=0 eching

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

x uchun yechish

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 2x^{2}+ax+bx-15 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -30-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Yechim – -1 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-6 b=5$$

2x^{2}-x-15 ni \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Birinchi guruhda 2x ni va ikkinchi guruhda 5 ni faktordan chiqaring.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda x-3 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Tenglamani yechish uchun x-3=0 va 2x+5=0 ni yeching.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 2 ni a, -1 ni b va -15 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 ni 2 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 ni -15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

1 ni 120 ga qo'shish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

-1 ning teskarisi 1 ga teng.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

2 ni 2 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

x=\frac{1±11}{4} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 1 ni 11 ga qo'shish.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 ni 4 ga bo'lish.

$$x=3$$

x=\frac{1±11}{4} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 1 dan 11 ni ayirish.

$$x=-\frac{10}{4}$$

\frac{-10}{4} ulushini 2 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Tenglama yechildi.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

15 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

O‘zidan -15 ayirilsa 0 qoladi.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

0 dan -15 ni ayirish.

$$2x^{2}-x=15$$

Ikki tarafini 2 ga bo‘ling.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

2 ga bo'lish 2 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

-\frac{1}{2} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{1}{4} olish uchun. Keyin, -\frac{1}{4} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{1}{4} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{15}{2} ni \frac{1}{16} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Qisqartirish.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{1}{4} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$