2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x} eching

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

x uchun yechish

$$x=-4$$

$$x=9$$

Yechim qadamlari

Tenglamaning ikkala tarafidan 6 ni ayirish.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Tenglamaning ikkala taraf kvadratini chiqarish.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2x^{2}-10x-6 kvadratini chiqarish.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2} ni kengaytirish.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini 11 ga hisoblang va 121 ni qiymatni oling.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini \sqrt{x^{2}-5x} ga hisoblang va x^{2}-5x ni qiymatni oling.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

121 ga x^{2}-5x ni ko'paytirish orqali distributiv xususiyatdan foydalanish.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Ikkala tarafdan 121x^{2} ni ayirish.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

-45x^{2} ni olish uchun 76x^{2} va -121x^{2} ni birlashtirish.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

605x ni ikki tarafga qo’shing.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

725x ni olish uchun 120x va 605x ni birlashtirish.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Ratsional ildiz teoremasiga koʻra, koʻphadlarning barcha ratsional ildizlari \frac{p}{q} shakli ichida, bu yerda p konstant shart 36 bilan boʻlinadi va q yetakchi koeffisientni 4 boʻladi. Barcha nomzodlarni oching \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Eng kichigidan boshlab, mutlaq qiymatgacha butun son qiymatlarni sinab koʻrish orqali ana shunday bitta ildizni toping. Agar butun sonlar ildizlari topilmasa, kasrlarni sinab koʻring.

$$x=-4$$

Faktor teoremasiga koʻra, x-k har bir k ildizining faktoridir. 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 ni olish uchun 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 ni x+4 ga bo‘ling. Natija 0 ga teng boʻlgandagi tenglamani yeching.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Ratsional ildiz teoremasiga koʻra, koʻphadlarning barcha ratsional ildizlari \frac{p}{q} shakli ichida, bu yerda p konstant shart 9 bilan boʻlinadi va q yetakchi koeffisientni 4 boʻladi. Barcha nomzodlarni oching \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Eng kichigidan boshlab, mutlaq qiymatgacha butun son qiymatlarni sinab koʻrish orqali ana shunday bitta ildizni toping. Agar butun sonlar ildizlari topilmasa, kasrlarni sinab koʻring.

$$x=9$$

Faktor teoremasiga koʻra, x-k har bir k ildizining faktoridir. 4x^{2}-20x-1 ni olish uchun 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 ni x-9 ga bo‘ling. Natija 0 ga teng boʻlgandagi tenglamani yeching.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni bu formula bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat tenglamada a uchun 4 ni, b uchun -20 ni va c uchun -1 ni ayiring.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Hisoblarni amalga oshiring.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

4x^{2}-20x-1=0 tenglamasini ± plus va ± minus boʻlgan holatida ishlang.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Barcha topilgan yechimlar roʻyxati.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} tenglamasida x uchun -4 ni almashtiring.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Qisqartirish. x=-4 tenglamani qoniqtiradi.

$$72=72$$

2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} tenglamasida x uchun 9 ni almashtiring.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Qisqartirish. x=9 tenglamani qoniqtiradi.

$$72=72$$

2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} tenglamasida x uchun \frac{5-\sqrt{26}}{2} ni almashtiring.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Qisqartirish. x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} qiymati bu tenglamani qoniqtirmaydi.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} tenglamasida x uchun \frac{\sqrt{26}+5}{2} ni almashtiring.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Qisqartirish. x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} qiymati bu tenglamani qoniqtirmaydi.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} boʻyicha barcha yechimlar roʻyxati.

$$x=-4 x=9$$