2k^2+9k=-7 eching

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

k uchun yechish

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

7 ni ikki tarafga qo’shing.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 2k^{2}+ak+bk+7 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b musbat boʻlganda, a va b ikkisi ham musbat. 14-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,14 2,7$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1+14=15 2+7=9$$

Yechim – 9 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=2 b=7$$

2k^{2}+9k+7 ni \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Birinchi guruhda 2k ni va ikkinchi guruhda 7 ni faktordan chiqaring.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda k+1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Tenglamani yechish uchun k+1=0 va 2k+7=0 ni yeching.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$2k^{2}+9k=-7$$

7 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

O‘zidan -7 ayirilsa 0 qoladi.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

0 dan -7 ni ayirish.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 2 ni a, 9 ni b va 7 ni c bilan almashtiring.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 kvadratini chiqarish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 ni 2 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 ni 7 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

81 ni -56 ga qo'shish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

25 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 ni 2 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

k=\frac{-9±5}{4} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -9 ni 5 ga qo'shish.

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 ni 4 ga bo'lish.

$$k=-1$$

k=\frac{-9±5}{4} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -9 dan 5 ni ayirish.

$$k=-\frac{14}{4}$$

\frac{-14}{4} ulushini 2 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Tenglama yechildi.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Ikki tarafini 2 ga bo‘ling.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 ga bo'lish 2 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

\frac{9}{2} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{9}{4} olish uchun. Keyin, \frac{9}{4} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{9}{4} kvadratini chiqarish.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali -\frac{7}{2} ni \frac{81}{16} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Qisqartirish.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{9}{4} ni ayirish.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$