15y^2+8y+1=0 eching

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

y uchun yechish

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 15y^{2}+ay+by+1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b musbat boʻlganda, a va b ikkisi ham musbat. 15-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,15 3,5$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1+15=16 3+5=8$$

Yechim – 8 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=3 b=5$$

15y^{2}+8y+1 ni \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

15y^{2}+3y ichida 3y ni ajrating.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 5y+1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun 5y+1=0 va 3y+1=0 ni yeching.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 15 ni a, 8 ni b va 1 ni c bilan almashtiring.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

8 kvadratini chiqarish.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

-4 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

64 ni -60 ga qo'shish.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

4 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

2 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

y=\frac{-8±2}{30} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -8 ni 2 ga qo'shish.

$$y=-\frac{6}{30}$$

\frac{-6}{30} ulushini 6 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$y=-\frac{1}{5}$$

y=\frac{-8±2}{30} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -8 dan 2 ni ayirish.

$$y=-\frac{10}{30}$$

\frac{-10}{30} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Tenglama yechildi.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Tenglamaning ikkala tarafidan 1 ni ayirish.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

O‘zidan 1 ayirilsa 0 qoladi.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Ikki tarafini 15 ga bo‘ling.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

15 ga bo'lish 15 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

\frac{8}{15} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{4}{15} olish uchun. Keyin, \frac{4}{15} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{4}{15} kvadratini chiqarish.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali -\frac{1}{15} ni \frac{16}{225} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Qisqartirish.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{4}{15} ni ayirish.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$