15x^2+11x+2=0 eching

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 15x^{2}+ax+bx+2 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b musbat boʻlganda, a va b ikkisi ham musbat. 30-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Yechim – 11 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 ni \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Birinchi guruhda 5x ni va ikkinchi guruhda 2 ni faktordan chiqaring.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 3x+1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Tenglamani yechish uchun 3x+1=0 va 5x+2=0 ni yeching.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 15 ni a, 11 ni b va 2 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 ni 2 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

121 ni -120 ga qo'shish.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

x=\frac{-11±1}{30} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -11 ni 1 ga qo'shish.

$$x=-\frac{10}{30}$$

\frac{-10}{30} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{-11±1}{30} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -11 dan 1 ni ayirish.

$$x=-\frac{12}{30}$$

\frac{-12}{30} ulushini 6 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Tenglama yechildi.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Tenglamaning ikkala tarafidan 2 ni ayirish.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

O‘zidan 2 ayirilsa 0 qoladi.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Ikki tarafini 15 ga bo‘ling.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 ga bo'lish 15 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

\frac{11}{15} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{11}{30} olish uchun. Keyin, \frac{11}{30} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{11}{30} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali -\frac{2}{15} ni \frac{121}{900} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Qisqartirish.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{11}{30} ni ayirish.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$