15x^2+4x-4=0 eching

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 15x^{2}+ax+bx-4 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -60-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Yechim – 4 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 ni \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Birinchi guruhda 3x ni va ikkinchi guruhda 2 ni faktordan chiqaring.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 5x-2 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Tenglamani yechish uchun 5x-2=0 va 3x+2=0 ni yeching.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 15 ni a, 4 ni b va -4 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 ni -4 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

16 ni 240 ga qo'shish.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 ni 15 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

x=\frac{-4±16}{30} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -4 ni 16 ga qo'shish.

$$x=\frac{12}{30}$$

\frac{12}{30} ulushini 6 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=\frac{2}{5}$$

x=\frac{-4±16}{30} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -4 dan 16 ni ayirish.

$$x=-\frac{20}{30}$$

\frac{-20}{30} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Tenglama yechildi.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

4 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

O‘zidan -4 ayirilsa 0 qoladi.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

0 dan -4 ni ayirish.

$$15x^{2}+4x=4$$

Ikki tarafini 15 ga bo‘ling.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 ga bo'lish 15 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

\frac{4}{15} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{2}{15} olish uchun. Keyin, \frac{2}{15} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{2}{15} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{4}{15} ni \frac{4}{225} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Qisqartirish.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{2}{15} ni ayirish.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$