10k^2+9k-1=0 eching

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k uchun yechish

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 10k^{2}+ak+bk-1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b musbat boʻlganda, musbat sonda manfiyga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -10-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,10 -2,5$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Yechim – 9 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 ni \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

10k^{2}-k ichida k ni ajrating.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 10k-1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun 10k-1=0 va k+1=0 ni yeching.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 10 ni a, 9 ni b va -1 ni c bilan almashtiring.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 kvadratini chiqarish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 ni 10 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 ni -1 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

81 ni 40 ga qo'shish.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 ni 10 marotabaga ko'paytirish.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

k=\frac{-9±11}{20} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. -9 ni 11 ga qo'shish.

$$k=\frac{2}{20}$$

\frac{2}{20} ulushini 2 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$k=\frac{1}{10}$$

k=\frac{-9±11}{20} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. -9 dan 11 ni ayirish.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 ni 20 ga bo'lish.

$$k=-1$$

Tenglama yechildi.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

1 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

O‘zidan -1 ayirilsa 0 qoladi.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

0 dan -1 ni ayirish.

$$10k^{2}+9k=1$$

Ikki tarafini 10 ga bo‘ling.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 ga bo'lish 10 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

\frac{9}{10} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga \frac{9}{20} olish uchun. Keyin, \frac{9}{20} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib \frac{9}{20} kvadratini chiqarish.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{1}{10} ni \frac{81}{400} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Qisqartirish.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Tenglamaning ikkala tarafidan \frac{9}{20} ni ayirish.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$