10x^2-3x-1=0 eching

$$10 { x }^{ 2 } -3x-1=0$$

x uchun yechish

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon 10x^{2}+ax+bx-1 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-3 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab manfiy boʻlganda, a va b da qarama-qarshi belgilar bor. a+b manfiy boʻlganda, manfiy sonda musbatga nisbatdan kattaroq mutlaq qiymat bor. -10-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$1,-10 2,-5$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Yechim – -3 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-5 b=2$$

10x^{2}-3x-1 ni \left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right)$$

10x^{2}-5x ichida 5x ni ajrating.

$$5x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda 2x-1 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Tenglamani yechish uchun 2x-1=0 va 5x+1=0 ni yeching.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 10 ni a, -3 ni b va -1 ni c bilan almashtiring.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-3 kvadratini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 ni 10 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 ni -1 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 10}$$

9 ni 40 ga qo'shish.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 10}$$

49 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 10}$$

-3 ning teskarisi 3 ga teng.

$$x=\frac{3±7}{2\times 10}$$

2 ni 10 marotabaga ko'paytirish.

$$x=\frac{3±7}{20}$$

x=\frac{3±7}{20} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 3 ni 7 ga qo'shish.

$$x=\frac{10}{20}$$

\frac{10}{20} ulushini 10 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=\frac{1}{2}$$

x=\frac{3±7}{20} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 3 dan 7 ni ayirish.

$$x=-\frac{4}{20}$$

\frac{-4}{20} ulushini 4 ni chiqarib, bekor qilish hisobiga eng past shartlarga kamaytiring.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Tenglama yechildi.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

1 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$10x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

O‘zidan -1 ayirilsa 0 qoladi.

$$10x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

0 dan -1 ni ayirish.

$$10x^{2}-3x=1$$

Ikki tarafini 10 ga bo‘ling.

$$\frac{10x^{2}-3x}{10}=\frac{1}{10}$$

10 ga bo'lish 10 ga ko'paytirishni bekor qiladi.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x=\frac{1}{10}$$

-\frac{3}{10} ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{3}{20} olish uchun. Keyin, -\frac{3}{20} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{3}{20} kvadratini chiqarish.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{1}{10}+\frac{9}{400}$$

Umumiy maxrajni topib va hisoblovchini qo'shish orqali \frac{1}{10} ni \frac{9}{400} ga qo'shing. So'ngra agar imkoni bo'lsa kasrni eng kam shartga qisqartiring.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{49}{400}$$

x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{49}{400}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{400}}$$

Qisqartirish.

$$x-\frac{3}{20}=\frac{7}{20} x-\frac{3}{20}=-\frac{7}{20}$$

\frac{3}{20} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$