y^2-15y=-54 eching

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y uchun yechish

$$y=6$$

$$y=9$$

Faktorlash qadamlari

54 ni ikki tarafga qo’shing.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Bu tenglamani yechish uchun y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) formulasi yordamida y^{2}-15y+54 ni faktorlang. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b manfiy boʻlganda, a va b ikkisi ham manfiy. 54-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Yechim – -15 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-9 b=-6$$

Faktorlangan \left(y+a\right)\left(y+b\right) ifodani olingan qiymatlar bilan qaytadan yozing.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Tenglamani yechish uchun y-9=0 va y-6=0 ni yeching.

$$y=9 y=6$$

Guruhlash orqali faktorlash qadamlari

54 ni ikki tarafga qo’shing.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon y^{2}+ay+by+54 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b manfiy boʻlganda, a va b ikkisi ham manfiy. 54-mahsulotni beruvchi bunday butun juftliklarni roʻyxat qiling.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Har bir juftlik yigʻindisini hisoblang.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Yechim – -15 yigʻindisini beruvchi juftlik.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 ni \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Birinchi guruhda y ni va ikkinchi guruhda -6 ni faktordan chiqaring.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda y-9 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Tenglamani yechish uchun y-9=0 va y-6=0 ni yeching.

$$y=9 y=6$$

Kvadrat tenglamalaridan foydalanish qoidalari

ax^{2}+bx+c=0 shaklidagi barcha tenglamalarni kvadrat formulasi bilan yechish mumkin: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrat formula ikki yechmni taqdim qiladi, biri ± qo'shish bo'lganda, va ikkinchisi ayiruv bo'lganda.

$$y^{2}-15y=-54$$

54 ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

O‘zidan -54 ayirilsa 0 qoladi.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0 dan -54 ni ayirish.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ushbu tenglama standart shaklidadir: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tenglama formulasida, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 1 ni a, -15 ni b va 54 ni c bilan almashtiring.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 kvadratini chiqarish.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 ni 54 marotabaga ko'paytirish.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

225 ni -216 ga qo'shish.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 ning kvadrat ildizini chiqarish.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 ning teskarisi 15 ga teng.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

y=\frac{15±3}{2} tenglamasini yeching, bunda ± musbat. 15 ni 3 ga qo'shish.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 ni 2 ga bo'lish.

$$y=9$$

y=\frac{15±3}{2} tenglamasini yeching, bunda ± manfiy. 15 dan 3 ni ayirish.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 ni 2 ga bo'lish.

$$y=6$$

Tenglama yechildi.

$$y=9 y=6$$

Kvadratni yakunlash bo'yicha qadamlar

Bu kabi kvadrat tenglamalarni kvadratni yakunlab yechish mumkin. Kvadratni yechish uchun tenglama avval ushbu shaklda bo'lishi shart: x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

-15 ni bo‘lish, x shartining koeffitsienti, 2 ga -\frac{15}{2} olish uchun. Keyin, -\frac{15}{2} ning kvadratini tenglamaning ikkala tarafiga qo‘shing. Ushbu qadam tenglamaning chap qismini mukammal kvadrat sifatida hosil qiladi.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kasrning ham suratini, ham maxrajini kvadratga ko'paytirib -\frac{15}{2} kvadratini chiqarish.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

-54 ni \frac{225}{4} ga qo'shish.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

y^{2}-15y+\frac{225}{4} omili. Odatda, x^{2}+bx+c mukammal kvadrat bo'lsa, u doimo \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} omil sifatida bo'lishi mumkin.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tenglamaning ikkala tarafining kvadrat ildizini chiqarish.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Qisqartirish.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{15}{2} ni tenglamaning ikkala tarafiga qo'shish.

$$y=9 y=6$$