sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2 eching

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

x uchun yechish

$$x=5$$

$$x=1$$

Yechim qadamlari

Tenglamaning ikkala tarafidan -\sqrt{x-1} ni ayirish.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Tenglamaning ikkala taraf kvadratini chiqarish.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini \sqrt{3x+1} ga hisoblang va 3x+1 ni qiymatni oling.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremasini \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2} kengaytirilishi uchun ishlating.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini \sqrt{x-1} ga hisoblang va x-1 ni qiymatni oling.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

3 olish uchun 4 dan 1 ni ayirish.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Tenglamaning ikkala tarafidan 3+x ni ayirish.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

3+x teskarisini topish uchun har birining teskarisini toping.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

-2 olish uchun 1 dan 3 ni ayirish.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

2x ni olish uchun 3x va -x ni birlashtirish.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Tenglamaning ikkala taraf kvadratini chiqarish.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremasini \left(2x-2\right)^{2} kengaytirilishi uchun ishlating.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2} ni kengaytirish.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini 4 ga hisoblang va 16 ni qiymatni oling.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

2 daraja ko‘rsatkichini \sqrt{x-1} ga hisoblang va x-1 ni qiymatni oling.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

16 ga x-1 ni ko'paytirish orqali distributiv xususiyatdan foydalanish.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Ikkala tarafdan 16x ni ayirish.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

-24x ni olish uchun -8x va -16x ni birlashtirish.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

16 ni ikki tarafga qo’shing.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

20 olish uchun 4 va 16'ni qo'shing.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Ikki tarafini 4 ga bo‘ling.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Tenglamani yechish uchun guruhlash orqali chap qoʻl tomonni faktorlang. Avvalo, chap qoʻl tomon x^{2}+ax+bx+5 sifatida qayta yozilishi kerak. a va b ni topish uchun yechiladigan tizimni sozlang.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

ab musbat boʻlganda, a va b da bir xil belgi bor. a+b manfiy boʻlganda, a va b ikkisi ham manfiy. Faqat bundan juftlik tizim yechimidir.

$$a=-5 b=-1$$

x^{2}-6x+5 ni \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right) sifatida qaytadan yozish.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Birinchi guruhda x ni va ikkinchi guruhda -1 ni faktordan chiqaring.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Distributiv funktsiyasidan foydalangan holda x-5 umumiy terminini chiqaring.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Tenglamani yechish uchun x-5=0 va x-1=0 ni yeching.

$$x=5 x=1$$

\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 tenglamasida x uchun 5 ni almashtiring.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Qisqartirish. x=5 tenglamani qoniqtiradi.

$$2=2$$

\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 tenglamasida x uchun 1 ni almashtiring.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Qisqartirish. x=1 tenglamani qoniqtiradi.

$$2=2$$

\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2 boʻyicha barcha yechimlar roʻyxati.

$$x=5 x=1$$